与えられた3つの置換を互換の積で表し、それぞれの置換の符号を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの置換を互換の積で表し、それぞれの置換の符号を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた置換は

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

これは、$1 \mapsto 3, 2 \mapsto 2, 3 \mapsto 1$を表しています。

互換の積で表すと、$(1 \ 3)$となります。

互換は一つなので、符号は$-1$です。

(2)

与えられた置換は

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

これは、$1 \mapsto 4, 2 \mapsto 1, 3 \mapsto 3, 4 \mapsto 2$を表しています。

互換の積で表すと、例えば$(1 \ 4)(1 \ 2)$となります。

他にも$(4 \ 2)(4 \ 1)$など、様々な表し方があります。

互換の数は2つなので、符号は$(-1)^2 = 1$です。

(3)

与えられた置換は

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

これは、$1 \mapsto 2, 2 \mapsto 4, 3 \mapsto 5, 4 \mapsto 1, 5 \mapsto 3$を表しています。

互換の積で表すと、例えば$(1 \ 2)(2 \ 4)(4 \ 1)(3 \ 5)$となります。より短い互換の積として、 $(1 \ 2 \ 4)(3 \ 5)$と表すこともできますが、互換の積にするために、$(1 \ 2)(2 \ 4)(3 \ 5)$とします。互換$(1 \ 2 \ 4)$は$(1 \ 4)(1 \ 2)$と表せます。したがって、$(1 \ 4)(1 \ 2)(3 \ 5)$となります。

互換の数は3つなので、符号は$(-1)^3 = -1$です。

3. 最終的な答え

(1) 互換の積：$(1 \ 3)$、符号：$-1$

(2) 互換の積：$(1 \ 4)(1 \ 2)$、符号：$1$

(3) 互換の積：$(1 \ 4)(1 \ 2)(3 \ 5)$、符号：$-1$