多項式 $P(x) = 2x^3 - x^2 + ax + 2$ を一次式 $2x+1$ で割ったときの余りが $1$ になるような $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 2x^3 - x^2 + ax + 2$ を一次式 $2x+1$ で割ったときの余りが $1$ になるような $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

剰余の定理を使います。$2x+1=0$ となる $x$ の値は $x = -\frac{1}{2}$ です。

剰余の定理より、$P(-\frac{1}{2}) = 1$ となる $a$ の値を求めればよいです。

$x = -\frac{1}{2}$ を $P(x)$ に代入すると、

$P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 - (-\frac{1}{2})^2 + a(-\frac{1}{2}) + 2$

$= 2(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} - \frac{a}{2} + 2$

$= -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{a}{2} + 2$

$= -\frac{1}{2} - \frac{a}{2} + 2$

$= \frac{3}{2} - \frac{a}{2}$

$P(-\frac{1}{2}) = 1$ より、

$\frac{3}{2} - \frac{a}{2} = 1$

両辺に 2 をかけると、

$3 - a = 2$

$a = 3 - 2$

$a = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1$