多項式 $P(x) = 2x^3 - x^2 + ax + 2$ を1次式 $2x + 1$ で割ったときの余りが1になるような $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 2x^3 - x^2 + ax + 2$ を1次式 $2x + 1$ で割ったときの余りが1になるような $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余りの定理より、$P(x)$ を $2x+1$ で割った余りは、$P(-\frac{1}{2})$ で与えられます。

問題文より、この余りが1であることから、$P(-\frac{1}{2}) = 1$ となります。

$P(x) = 2x^3 - x^2 + ax + 2$ に $x = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{2})^3 - (-\frac{1}{2})^2 + a(-\frac{1}{2}) + 2$

$P(-\frac{1}{2}) = 2(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} - \frac{a}{2} + 2$

$P(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{a}{2} + 2$

$P(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} - \frac{a}{2} + 2$

$P(-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - \frac{a}{2}$

$P(-\frac{1}{2}) = 1$ より、

$\frac{3}{2} - \frac{a}{2} = 1$

両辺に2をかけて、

$3 - a = 2$

$a = 3 - 2$

$a = 1$

3. 最終的な答え

$a = 1$