問題128の(2)を解きます。関数 $y = ax + b$ ($1 \le x \le 3$) の値域が $0 \le y \le 1$ である。ただし、$a < 0$ とします。この条件を満たすように定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

問題128の(2)を解きます。関数 $y = ax + b$ ($1 \le x \le 3$) の値域が $0 \le y \le 1$ である。ただし、$a < 0$ とします。この条件を満たすように定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$a < 0$ なので、$y = ax + b$ は減少関数です。したがって、$x=1$ のときに $y$ は最大値をとり、$x=3$ のときに $y$ は最小値をとります。

つまり、$x=1$ のとき $y=1$ であり、$x=3$ のとき $y=0$ となります。

これらの条件から、次の連立方程式が得られます。

$a + b = 1$

$3a + b = 0$

この連立方程式を解きます。

2つの式を引き算すると、

$(3a + b) - (a + b) = 0 - 1$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

$a = -\frac{1}{2}$ を $a + b = 1$ に代入すると、

$-\frac{1}{2} + b = 1$

$b = 1 + \frac{1}{2}$

$b = \frac{3}{2}$

したがって、$a = -\frac{1}{2}$ かつ $b = \frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}$