関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ について、定義域が $5 \le x \le 6$ のとき、最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ について、定義域が $5 \le x \le 6$ のとき、最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求めます。

$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5 = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x) + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x + 9 - 9) + 5 = -\frac{1}{3}((x - 3)^2 - 9) + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 3 + 5 = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 8$

頂点の座標は $(3, 8)$ です。

定義域が $5 \le x \le 6$ なので、頂点は定義域に含まれていません。

したがって、定義域の端点で最大値または最小値をとります。

$x = 5$ のとき、

$f(5) = -\frac{1}{3}(5)^2 + 2(5) + 5 = -\frac{25}{3} + 10 + 5 = -\frac{25}{3} + 15 = \frac{-25 + 45}{3} = \frac{20}{3}$

$x = 6$ のとき、

$f(6) = -\frac{1}{3}(6)^2 + 2(6) + 5 = -\frac{36}{3} + 12 + 5 = -12 + 12 + 5 = 5$

$f(5) = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ であり、$f(6) = 5$ です。

よって、最大値は $\frac{20}{3}$ で、最小値は $5$ です。

3. 最終的な答え

最大値は $\frac{20}{3}$ 、最小値は $5$ です。