関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ の定義域が $2 \le x \le 5$ のとき、最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$ の定義域が $2 \le x \le 5$ のとき、最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 2x + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x) + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x^2 - 6x + 9 - 9) + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}((x - 3)^2 - 9) + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 3 + 5$

$f(x) = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 8$

よって、頂点の座標は $(3, 8)$ です。

次に、定義域 $2 \le x \le 5$ における関数の最大値と最小値を求めます。

頂点のx座標である $x = 3$ は定義域に含まれています。

$f(3) = 8$

定義域の端点における関数の値を計算します。

$f(2) = -\frac{1}{3}(2 - 3)^2 + 8 = -\frac{1}{3}(1) + 8 = 8 - \frac{1}{3} = \frac{24}{3} - \frac{1}{3} = \frac{23}{3}$

$f(5) = -\frac{1}{3}(5 - 3)^2 + 8 = -\frac{1}{3}(4) + 8 = 8 - \frac{4}{3} = \frac{24}{3} - \frac{4}{3} = \frac{20}{3}$

$x = 3$ のとき、$f(3) = 8 = \frac{24}{3}$

$x = 2$ のとき、$f(2) = \frac{23}{3}$

$x = 5$ のとき、$f(5) = \frac{20}{3}$

したがって、最大値は $8$、最小値は $\frac{20}{3}$ です。

3. 最終的な答え

最大値は 8, 最小値は 20/3 である。