(1) 整式 $P(x) = x^3 + kx^2 - 2x + 3$ を $x+1$ で割ったとき、余りが3となるような $k$ の値を求めます。 (2) 整式 $P(x) = 2x^3 + 4x^2 - 5x + k$ が $x+2$ で割り切れるような $k$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1) 整式 $P(x) = x^3 + kx^2 - 2x + 3$ を $x+1$ で割ったとき、余りが3となるような $k$ の値を求めます。

(2) 整式 $P(x) = 2x^3 + 4x^2 - 5x + k$ が $x+2$ で割り切れるような $k$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 剰余の定理より、$P(-1)$ は $P(x)$ を $x+1$ で割ったときの余りに等しくなります。したがって、$P(-1) = 3$ となる $k$ の値を求めます。

$P(-1) = (-1)^3 + k(-1)^2 - 2(-1) + 3 = -1 + k + 2 + 3 = k + 4$

$k + 4 = 3$

$k = 3 - 4$

$k = -1$

(2) 因数定理より、$P(x)$ が $x+2$ で割り切れるとき、$P(-2) = 0$ となります。したがって、$P(-2) = 0$ となる $k$ の値を求めます。

$P(-2) = 2(-2)^3 + 4(-2)^2 - 5(-2) + k = 2(-8) + 4(4) + 10 + k = -16 + 16 + 10 + k = 10 + k$

$10 + k = 0$

$k = -10$

3. 最終的な答え

(1) $k = -1$

(2) $k = -10$