次の不等式を解きます。 (1) $|x+1| > 3x$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

(1) $|x+1| > 3x$

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式を解くには、絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $x+1 \geq 0$ つまり $x \geq -1$ のとき

$|x+1| = x+1$ なので、不等式は

$x+1 > 3x$

$1 > 2x$

$x < \frac{1}{2}$

ここで、$x \geq -1$ という条件があるので、 $-1 \leq x < \frac{1}{2}$ がこの場合の解となります。

(ii) $x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき

$|x+1| = -(x+1)$ なので、不等式は

$-(x+1) > 3x$

$-x-1 > 3x$

$-1 > 4x$

$x < -\frac{1}{4}$

ここで、$x < -1$ という条件があるので、$x < -1$ がこの場合の解となります。

したがって、(i)と(ii)を合わせると、$x < \frac{1}{2}$ が解となります。ただし、$3x \geq 0$ つまり $x \geq 0$ である必要があるため、$x < -1$を満たす場合も考慮する必要があります。

$x < \frac{1}{2}$と$3x$が常に正であるという条件から、解は以下のようになります。

(i) $x+1 \geq 0$のとき、つまり $x \geq -1$のとき

$x+1 > 3x$

$1 > 2x$

$x < \frac{1}{2}$

よって、$-1 \leq x < \frac{1}{2}$

(ii) $x+1 < 0$のとき、つまり $x < -1$のとき

$-(x+1) > 3x$

$-x-1 > 3x$

$-1 > 4x$

$x < -\frac{1}{4}$

よって、$x < -1$

条件として、$3x < 0$である必要がある。

したがって、$x < 0$。

(i)と(ii)を合わせると、$x < \frac{1}{2}$ かつ $x < -\frac{1}{4}$なので、$x < \frac{1}{2}$です。

$3x$ が常に正とは限らないので、場合分けが必要です。

(i) $x \geq 0$ のとき、$|x+1| > 3x$

$x+1 > 3x$

$1 > 2x$

$x < \frac{1}{2}$

よって、$0 \leq x < \frac{1}{2}$

(ii) $x < 0$ のとき、$|x+1| > 3x$

$x \geq -1$ のとき、$x+1 > 3x$ なので、$x < \frac{1}{2}$。 よって、$-1 \leq x < 0$

$x < -1$ のとき、$-x-1 > 3x$ なので、$x < -\frac{1}{4}$。 よって、$x < -1$

まとめると、$x < \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$x < \frac{1}{2}$