2つの直線 $2x + ay + 2 = 0$ と $(a+1)x + y + 1 = 0$ が与えられたとき、次の条件を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。 (1) 2直線が平行である。 (2) 2直線が垂直である。

1. 問題の内容

2つの直線 $2x + ay + 2 = 0$ と $(a+1)x + y + 1 = 0$ が与えられたとき、次の条件を満たす定数 $a$ の値を求める問題です。

(1) 2直線が平行である。

(2) 2直線が垂直である。

2. 解き方の手順

(1) 2直線が平行であるとき：

2つの直線の式をそれぞれ $l_1: 2x + ay + 2 = 0$、$l_2: (a+1)x + y + 1 = 0$ とします。

$l_1$ の傾きを $m_1$、$l_2$ の傾きを $m_2$ とすると、$m_1 = -\frac{2}{a}$、$m_2 = -(a+1)$となります。

2直線が平行であるとき、$m_1 = m_2$ が成り立ちます。ただし、$a=0$の場合は $l_1$ が直線にならないため除きます。また、$l_2$ の $y$ の係数が $0$ になる場合も考えなければいけませんが、ここでは $y$ の係数は $1$ なのでその必要はありません。

したがって、

$-\frac{2}{a} = -(a+1)$

$2 = a(a+1)$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a+2)(a-1) = 0$

$a = -2, 1$

(2) 2直線が垂直であるとき：

2直線が垂直であるとき、$m_1 m_2 = -1$ が成り立ちます。

したがって、

$(-\frac{2}{a})(-(a+1)) = -1$

$\frac{2(a+1)}{a} = -1$

$2(a+1) = -a$

$2a + 2 = -a$

$3a = -2$

$a = -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 2直線が平行であるとき：$a = -2, 1$

(2) 2直線が垂直であるとき：$a = -\frac{2}{3}$