領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 2x, y \geq 0\}$ 上で、二重積分 $\iint_D 3y \, dxdy$ を計算する。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 2x, y \geq 0\}$ 上で、二重積分 $\iint_D 3y \, dxdy$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を極座標で表現する。

$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ とおくと、$x^2 + y^2 = r^2$ となる。

$x^2 + y^2 \leq 2x$ は $r^2 \leq 2r \cos \theta$ と書き換えられる。

$r > 0$ のとき、両辺を $r$ で割ると、$r \leq 2 \cos \theta$ となる。

また、$y \geq 0$ より、$r \sin \theta \geq 0$ であるから、$\sin \theta \geq 0$ となり、$0 \leq \theta \leq \pi$ である。

しかし、$r \leq 2 \cos \theta$ であるから、$\cos \theta$ は正でなければならず、$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ となる。

したがって、$D$ は極座標で $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq 2 \cos \theta$ と表せる。

次に、二重積分を計算する。ヤコビアンは $r$ であるから、

$$\iint_D 3y \, dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2 \cos \theta} 3r \sin \theta \cdot r \, dr d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{2 \cos \theta} 3r^2 \sin \theta \, dr d\theta$$

まず、$r$ について積分する。

$$\int_0^{2 \cos \theta} 3r^2 \sin \theta \, dr = \left[ r^3 \sin \theta \right]_0^{2 \cos \theta} = (2 \cos \theta)^3 \sin \theta = 8 \cos^3 \theta \sin \theta$$

次に、$\theta$ について積分する。

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 8 \cos^3 \theta \sin \theta \, d\theta$$

$u = \cos \theta$ とおくと、$du = -\sin \theta \, d\theta$ となる。

$\theta = 0$ のとき $u = 1$ であり、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = 0$ である。

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} 8 \cos^3 \theta \sin \theta \, d\theta = \int_1^0 8u^3 (-du) = -8 \int_1^0 u^3 du = 8 \int_0^1 u^3 du = 8 \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$$

3. 最終的な答え

2