以下の2つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos 2x - 1}$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

以下の2つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos 2x - 1}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x}$ について

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \sin 3x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用するために、式を以下のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x \frac{\sin 3x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x \cdot 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x \cdot 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}}{\lim_{x \to 0} \cos x \cdot 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}} = \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos 2x - 1}$ について

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ という三角関数の公式を利用します。

$\cos 2x - 1 = -2\sin^2 x$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos 2x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{-2\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{-2\frac{\sin^2 x}{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{-2(\frac{\sin x}{x})^2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{-2(\frac{\sin x}{x})^2} = \frac{1}{-2 (\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x})^2} = \frac{1}{-2(1)^2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x} = \frac{1}{3}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\cos 2x - 1} = -\frac{1}{2}$