与えられた積分 $\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$u = 4 - x$ と置換します。すると、$x = 4 - u$ となり、$dx = -du$ となります。

これらの置換を積分に適用すると、

$\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx = \int \frac{(4-u)+2}{u^3} (-du) = - \int \frac{6-u}{u^3} du$

となります。

次に、積分を分割します。

$- \int \frac{6-u}{u^3} du = - \int (\frac{6}{u^3} - \frac{u}{u^3}) du = - \int (6u^{-3} - u^{-2}) du$

各項を積分します。

$- \int (6u^{-3} - u^{-2}) du = - (6 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} - \frac{u^{-1}}{-1}) + C = 3u^{-2} - u^{-1} + C = \frac{3}{u^2} - \frac{1}{u} + C$

ここで、$u = 4-x$ を代入して、

$\frac{3}{(4-x)^2} - \frac{1}{4-x} + C$

最後に、項をまとめます。

$\frac{3}{(4-x)^2} - \frac{1}{4-x} = \frac{3 - (4-x)}{(4-x)^2} = \frac{x-1}{(4-x)^2}$

したがって、積分は

$\frac{x-1}{(4-x)^2} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{x-1}{(4-x)^2} + C$