## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた8つの関数について、グラフの概形を描く問題です。

(4)では $\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$、(6)では $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を用いて良いとされています。

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2. 解き方の手順

各関数について、グラフの概形を描くために、以下の手順で考えます。

**(1) y = (x-1)^3 (x-3)**

* **x切片:** $x=1$ (三重解), $x=3$ (単解)

* **y切片:** $y = (-1)^3(-3) = 3$

* $x \to \infty$ で $y \to \infty$, $x \to -\infty$ で $y \to -\infty$

* $x=1$ で接する，$x=3$ で交差する。

**(2) y = x + √2 sin(x) (0 ≤ x ≤ 2π)**

* **x切片:** $x + \sqrt{2} \sin(x) = 0$. $x=0$ や $x=\pi$ 近傍で解を持つ

* $y'(x) = 1 + \sqrt{2} \cos(x)$. $y'(x) = 0$ となるのは $\cos(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときで、$x = \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

* 増減を調べてグラフの概形を描く。

**(3) y = e^(-x^2)**

* **偶関数:** $y(-x) = y(x)$

* **最大値:** $x = 0$ で $y = 1$

* $\lim_{x \to \infty} y = 0$

* $x$軸に漸近する。

**(4) y = (x-1)e^x**

* **x切片:** $x = 1$

* **y切片:** $y = -1$

* $\lim_{x \to -\infty} (x-1)e^x = 0$

* $\lim_{x \to \infty} (x-1)e^x = \infty$

* $y' = e^x + (x-1)e^x = xe^x$. $x=0$ で $y' = 0$, $y = -e^0 = -1$.

**(5) y = log(x^2 + 1)**

* **偶関数:** $y(-x) = y(x)$

* **最小値:** $x = 0$ で $y = \log(1) = 0$

* $\lim_{x \to \infty} y = \infty$

* $y' = \frac{2x}{x^2+1}$. $x=0$ で $y'=0$.

**(6) y = (log x) / x**

* **定義域:** $x > 0$

* **x切片:** $x = 1$

* $\lim_{x \to 0^+} \frac{\log x}{x} = -\infty$

* $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ （問題文より）

* $y' = \frac{(1/x)x - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$. $1 - \log x = 0$ より $\log x = 1$ なので $x = e$.

**(7) y = x^2 / (x+1)**

* **定義域:** $x \neq -1$

* **x切片:** $x = 0$

* **y切片:** $y = 0$

* $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x+1} = \infty$

* $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x+1} = -\infty$

* $x = -1$ で漸近線

* $y = x-1 + \frac{1}{x+1}$ より $y=x-1$ が漸近線

**(8) y = 4x / (x^2 + 2)**

* **奇関数:** $y(-x) = -y(x)$

* **x切片:** $x = 0$

* **y切片:** $y = 0$

* $\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{x^2+2} = 0$

* $\lim_{x \to -\infty} \frac{4x}{x^2+2} = 0$

* $y' = \frac{4(x^2+2) - 4x(2x)}{(x^2+2)^2} = \frac{8 - 4x^2}{(x^2+2)^2}$. $8 - 4x^2 = 0$ より $x^2 = 2$ なので $x = \pm \sqrt{2}$.

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3. 最終的な答え

上記の手順に従って、それぞれの関数のグラフの概形を描きます。各関数の特徴（x切片、y切片、極値、漸近線、対称性など）を把握し、それらを元にグラフを描くことになります。

具体的なグラフについては、グラフ描画ソフトなどを利用して描くのが良いでしょう。上記の情報を元に、概形を想像して描いてみてください。