関数 $f(x, y)$ の極値を求める問題です。問題は以下の2つです。 (1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$ (2) $f(x, y) = x^2 + y^2 + xy + y + y^2 + 2y$ （これは $f(x, y) = x^2 + xy + 2y^2 + 3y$ と書き換えられる。）

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ の極値を求める問題です。問題は以下の2つです。

(1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$

(2) $f(x, y) = x^2 + y^2 + xy + y + y^2 + 2y$ （これは $f(x, y) = x^2 + xy + 2y^2 + 3y$ と書き換えられる。）

2. 解き方の手順

関数 $f(x, y)$ の極値を求めるには、まず偏微分を用いて停留点を求め、ヘッセ行列を用いて極値判定を行います。

(1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$ の場合

- 偏微分を計算します。

$f_x = 2x - y + 2$

$f_y = -x + 2y - 1$

- 停留点を求めるため、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。

$2x - y + 2 = 0$

$-x + 2y - 1 = 0$

この連立方程式を解くと、$x = -1$、$y = 0$ となります。したがって、停留点は $(-1, 0)$ です。

- 二階偏微分を計算します。

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = 2$

$f_{xy} = -1$

$f_{yx} = -1$

- ヘッセ行列式 $D$ を計算します。

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$

$D > 0$ であり、$f_{xx} > 0$ であるため、$(-1, 0)$ で極小値を取ります。

極小値は、$f(-1, 0) = (-1)^2 - (-1)(0) + (0)^2 + 2(-1) - (0) + 7 = 1 - 0 + 0 - 2 - 0 + 7 = 6$

(2) $f(x, y) = x^2 + xy + 2y^2 + 3y$ の場合

- 偏微分を計算します。

$f_x = 2x + y$

$f_y = x + 4y + 3$

- 停留点を求めるため、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解きます。

$2x + y = 0$

$x + 4y + 3 = 0$

この連立方程式を解くと、$x = 1$、$y = -2$ となります。したがって、停留点は $(1, -2)$ です。

- 二階偏微分を計算します。

$f_{xx} = 2$

$f_{yy} = 4$

$f_{xy} = 1$

$f_{yx} = 1$

- ヘッセ行列式 $D$ を計算します。

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 4 - (1)^2 = 8 - 1 = 7$

$D > 0$ であり、$f_{xx} > 0$ であるため、$(1, -2)$ で極小値を取ります。

極小値は、$f(1, -2) = (1)^2 + (1)(-2) + 2(-2)^2 + 3(-2) = 1 - 2 + 8 - 6 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 関数 $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 + 2x - y + 7$ は、点 $(-1, 0)$ で極小値 $6$ をとります。

(2) 関数 $f(x, y) = x^2 + xy + 2y^2 + 3y$ は、点 $(1, -2)$ で極小値 $1$ をとります。