2重積分 $\iint_D x \, dx \, dy$ の値を、領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x^2 + y^2 \le 2y \}$ に対して求めよ。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D x \, dx \, dy$ の値を、領域 $D = \{(x, y) \mid 0 \le x^2 + y^2 \le 2y \}$ に対して求めよ。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を理解するために $x^2 + y^2 \le 2y$ を変形します。

$x^2 + y^2 - 2y \le 0$

$x^2 + (y-1)^2 \le 1$

これは、中心 $(0, 1)$, 半径 1 の円の内部（および円周上）を表します。また、$x^2 + y^2 \ge 0$ は常に満たされるので、結局 $D$ は $x^2 + (y-1)^2 \le 1$ で表される領域です。

極座標変換を行います。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$

$x^2 + y^2 \le 2y$ を極座標で表すと、

$r^2 \le 2r\sin\theta$

$r \le 2\sin\theta$

また、$x^2 + (y-1)^2 \le 1$ を満たすためには、$0 \le \theta \le \pi$ である必要があります。$r\ge0$であるから、$\sin\theta \ge 0$である必要があり、$\theta$の範囲は$0\le \theta\le\pi$となります。

したがって、$0 \le r \le 2\sin\theta$、$0 \le \theta \le \pi$ となります。

積分を計算します。

$\iint_D x \, dx \, dy = \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} r\cos\theta \cdot r \, dr \, d\theta$

$= \int_0^\pi \cos\theta \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_0^{2\sin\theta} d\theta$

$= \int_0^\pi \cos\theta \cdot \frac{8}{3} \sin^3\theta \, d\theta$

$= \frac{8}{3} \int_0^\pi \sin^3\theta \cos\theta \, d\theta$

ここで、$u = \sin\theta$ と置くと、$du = \cos\theta \, d\theta$。

$\theta: 0 \to \pi$ のとき、$u: 0 \to 0$ となるので、

$\frac{8}{3} \int_0^0 u^3 \, du = 0$

3. 最終的な答え

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