2次式 $x^2 + x + 1$ を複素数の範囲で因数分解する問題です。

1. 問題の内容

2次式 $x^2 + x + 1$ を複素数の範囲で因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + x + 1 = 0$ の解を求めます。これは解の公式を使って計算します。

$ax^2 + bx + c = 0$ の解は、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この問題では、$a = 1, b = 1, c = 1$ なので、解の公式に代入すると、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、$x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ と $x = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ が解となります。

これらを $\alpha = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ と $\beta = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ とおくと、$x^2 + x + 1$ は $(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。

したがって、

$x^2 + x + 1 = (x - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})(x - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2})$

$x^2 + x + 1 = (x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2})(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2})$

3. 最終的な答え

$(x + \frac{1 - i\sqrt{3}}{2})(x + \frac{1 + i\sqrt{3}}{2})$

または

$(x - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2})(x - \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2})$