和 $S = \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ について、$\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \Box \cdot (\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1})$ が成り立つときの$\Box$を求めよ。

1. 問題の内容

和 $S = \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$ について、$\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \Box \cdot (\frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1})$ が成り立つときの$\Box$を求めよ。

2. 解き方の手順

部分分数分解の考え方を利用します。

$\frac{1}{(4k-3)(4k+1)}$ を $\frac{A}{4k-3} + \frac{B}{4k+1}$ の形に変形することを考えます。

まず、右辺を通分します。

$$\frac{A}{4k-3} + \frac{B}{4k+1} = \frac{A(4k+1) + B(4k-3)}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{(4A+4B)k + (A-3B)}{(4k-3)(4k+1)}$$

これが $\frac{1}{(4k-3)(4k+1)}$ と等しくなるためには、

$$4A+4B = 0$$

$$A-3B = 1$$

という連立方程式が成り立つ必要があります。

最初の式から $A = -B$ がわかります。これを2番目の式に代入すると、

$$-B - 3B = 1$$

$$-4B = 1$$

$$B = -\frac{1}{4}$$

したがって、$A = \frac{1}{4}$ となります。

よって、

$$\frac{1}{(4k-3)(4k+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-3} - \frac{1}{4k+1} \right)$$

したがって、$\Box$ に入るべき数は $\frac{1}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$