問題は、次の和 $S$ を求めることです。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}$

1. 問題の内容

問題は、次の和 $S$ を求めることです。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$5S$ を計算します。

$5S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + (n-1) \cdot 5^{n-1} + n \cdot 5^n$

次に、$S - 5S$ を計算します。

$S - 5S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + \dots + n \cdot 5^{n-1}) - (1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^n)$

$S - 5S = 1 + (2-1) \cdot 5 + (3-2) \cdot 5^2 + \dots + (n - (n-1)) \cdot 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

$-4S = 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

$1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1}$ は初項 1、公比 5 の等比数列の和なので、

$1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{n-1} = \frac{5^n - 1}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$

したがって、

$-4S = \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n$

$-4S = \frac{5^n - 1 - 4n \cdot 5^n}{4}$

$S = \frac{4n \cdot 5^n - 5^n + 1}{16} = \frac{(4n - 1) \cdot 5^n + 1}{16}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(4n - 1) \cdot 5^n + 1}{16}$