与えられた３つの和の計算問題を解きます。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$ (3) $\sum_{k=1}^{n-1} 4k$

1. 問題の内容

与えられた３つの和の計算問題を解きます。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} 4k$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k+1)$ は、$\sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 1$ と分解できます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2\sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ となります。

また、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ です。

したがって、$\sum_{k=1}^{n} (2k+1) = n(n+1) + n = n^2+n+n = n^2+2n = n(n+2)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k-5)$ は、$\sum_{k=1}^{n} 3k - \sum_{k=1}^{n} 5$ と分解できます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

$\sum_{k=1}^{n} 3k = 3\sum_{k=1}^{n} k = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{3n(n+1)}{2}$ となります。

また、$\sum_{k=1}^{n} 5 = 5n$ です。

したがって、$\sum_{k=1}^{n} (3k-5) = \frac{3n(n+1)}{2} - 5n = \frac{3n^2+3n}{2} - \frac{10n}{2} = \frac{3n^2+3n-10n}{2} = \frac{3n^2-7n}{2} = \frac{n(3n-7)}{2}$

(3) $\sum_{k=1}^{n-1} 4k$ は、$4 \sum_{k=1}^{n-1} k$ と変形できます。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)(n-1+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$ です。

したがって、$\sum_{k=1}^{n-1} 4k = 4 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = 2n(n-1) = 2n^2-2n$

3. 最終的な答え

(1) $n(n+2)$

(2) $\frac{n(3n-7)}{2}$

(3) $2n(n-1)$