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0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の 7 個の数字から異なる 4 個の数字を選んで並べ、4 桁の整数を作るとき、3600 より大きい奇数は何個できるか。

算数順列組み合わせ整数条件付きカウント
2025/6/24
以下、問題２の解答です。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 の 7 個の数字から異なる 4 個の数字を選んで並べ、4 桁の整数を作るとき、3600 より大きい奇数は何個できるか。

2. 解き方の手順

まず、千の位が 3, 4, 5, 6 の場合に分けて考えます。
(i) 千の位が 3 の場合
百の位は 6 である必要があります。
十の位と一の位は、残りの 5 つの数字から選びます。ただし、一の位は奇数でなければなりません。
一の位が 1, 5 のいずれかである必要があります。
- 一の位が 1 の場合: 十の位は残りの 4 つの数字から選ぶため 4 通り。
- 一の位が 5 の場合: 十の位は残りの 4 つの数字から選ぶため 4 通り。
よって、千の位が 3 で 3600 より大きい奇数は 4+4=84 + 4 = 8 通り。
(ii) 千の位が 4 の場合
百、十の位は何でも良いので、千の位と一の位以外から選ぶことになります。
一の位は 1, 3, 5 のいずれかである必要があります。
- 一の位が 1 の場合: 百の位は残りの 5 つの数字から、十の位は残りの 4 つの数字から選ぶので、5×4=205 \times 4 = 20 通り。
- 一の位が 3 の場合: 百の位は残りの 5 つの数字から、十の位は残りの 4 つの数字から選ぶので、5×4=205 \times 4 = 20 通り。
- 一の位が 5 の場合: 百の位は残りの 5 つの数字から、十の位は残りの 4 つの数字から選ぶので、5×4=205 \times 4 = 20 通り。
よって、千の位が 4 である奇数は 20+20+20=6020 + 20 + 20 = 60 通り。
(iii) 千の位が 5 の場合
百、十の位は何でも良いので、千の位と一の位以外から選ぶことになります。
一の位は 1, 3 のいずれかである必要があります。
- 一の位が 1 の場合: 百の位は残りの 5 つの数字から、十の位は残りの 4 つの数字から選ぶので、5×4=205 \times 4 = 20 通り。
- 一の位が 3 の場合: 百の位は残りの 5 つの数字から、十の位は残りの 4 つの数字から選ぶので、5×4=205 \times 4 = 20 通り。
よって、千の位が 5 である奇数は 20+20=4020 + 20 = 40 通り。
(iv) 千の位が 6 の場合
百、十の位は何でも良いので、千の位と一の位以外から選ぶことになります。
一の位は 1, 3, 5 のいずれかである必要があります。
- 一の位が 1 の場合: 百の位は残りの 5 つの数字から、十の位は残りの 4 つの数字から選ぶので、5×4=205 \times 4 = 20 通り。
- 一の位が 3 の場合: 百の位は残りの 5 つの数字から、十の位は残りの 4 つの数字から選ぶので、5×4=205 \times 4 = 20 通り。
- 一の位が 5 の場合: 百の位は残りの 5 つの数字から、十の位は残りの 4 つの数字から選ぶので、5×4=205 \times 4 = 20 通り。
よって、千の位が 6 である奇数は 20+20+20=6020 + 20 + 20 = 60 通り。
したがって、3600 より大きい奇数は 8+60+40+60=1688 + 60 + 40 + 60 = 168 個。

3. 最終的な答え

168個

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