与えられた選択肢の中から、常に正しいものをすべて選択する問題です。選択肢は、無理数と有理数の和、積に関するものです。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、常に正しいものをすべて選択する問題です。選択肢は、無理数と有理数の和、積に関するものです。

2. 解き方の手順

各選択肢について、反例がないか検討します。

(1) 無理数と有理数の和は常に無理数である。

- 無理数を$\sqrt{2}$、有理数を$1$とすると、$\sqrt{2} + 1$は無理数です。一般的に、無理数$a$と有理数$b$の和が有理数$c$になると仮定すると、$a+b = c$より$a = c - b$となり、$a$が有理数になってしまうため、矛盾します。したがって、この選択肢は正しいです。

(2) 無理数と有理数の和は常に有理数である。

- (1)の議論から、この選択肢は誤りです。例えば、$\sqrt{2} + 1$は無理数です。

(3) 無理数と有理数の積は常に無理数である。

- 無理数を$\sqrt{2}$、有理数を$2$とすると、$2\sqrt{2}$は無理数です。ただし、有理数が$0$の場合は、$0 \times \sqrt{2} = 0$となり、有理数になります。したがって、「常に」無理数とは言えないので、この選択肢は誤りです。

(4) 有理数と無理数の積は常に有理数である。

- (3)の議論から、$0$の場合があるので、この選択肢は誤りです。

3. 最終的な答え

(1)