2以上の自然数は、1個以上の素数の積で表せることを証明する。

1. 問題の内容

2以上の自然数は、1個以上の素数の積で表せることを証明する。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) n = 2 のとき:

2 は素数なので、2 は 1 個の素数の積で表せる。

(2) n > 2 のとき:

2 から n までのすべての自然数が 1 個以上の素数の積で表せると仮定する。この仮定の下で、n+1 も 1 個以上の素数の積で表せることを示す。

n+1 が素数の場合、n+1 は 1 個の素数の積で表せる。

n+1 が合成数の場合、ある自然数 a, b が存在して、$n+1 = a \cdot b$ (ただし、$1 < a < n+1$ かつ $1 < b < n+1$)と書ける。

ここで、帰納法の仮定より、$a$ と $b$ はそれぞれ 1 個以上の素数の積で表せる。

したがって、$n+1 = a \cdot b$ もまた 1 個以上の素数の積で表せる。

以上より、数学的帰納法によって、2 以上のすべての自然数は 1 個以上の素数の積で表せる。

3. 最終的な答え

2以上の自然数は、1個以上の素数の積で表せる。