2以上の自然数は、1個以上の素数の積で表せることを証明する。

1. 問題の内容

2以上の自然数は、1個以上の素数の積で表せることを証明する。

2. 解き方の手順

数学的帰納法を用いて証明する。

(1) 基底の場合：

$n = 2$のとき、$2$は素数なので、素数の積で表せる。

(2) 帰納的仮定：

$2 \le k \le n$であるすべての自然数$k$に対して、素数の積で表せると仮定する。

(3) 帰納的ステップ：

$n+1$が素数の積で表せることを示す。

$n+1$が素数である場合、$n+1$自身が素数の積で表せる。

$n+1$が素数でない場合、$n+1$は合成数なので、$n+1 = ab$（$1 < a, b < n+1$）と表せる。

帰納的仮定より、$2 \le a \le n$ かつ $2 \le b \le n$ なので、$a$と$b$はそれぞれ素数の積で表せる。したがって、$n+1 = ab$も素数の積で表せる。

(1)(2)(3)より、数学的帰納法によって、2以上のすべての自然数は1個以上の素数の積で表せる。

3. 最終的な答え

2以上のすべての自然数は1個以上の素数の積で表せる。