与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) と、それぞれに対応する固有ベクトル $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}, x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -6 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$) と、それぞれに対応する固有ベクトル $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}, x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、固有値を求めるために、特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。ここで、$I$ は単位行列です。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} -6-\lambda & 4 \\ 3 & 5-\lambda \end{vmatrix} = (-6-\lambda)(5-\lambda) - (4)(3) = \lambda^2 + \lambda - 30 - 12 = \lambda^2 + \lambda - 42 = 0$

この2次方程式を解きます。

$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-42)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 \pm 13}{2}$

したがって、$\lambda_1 = \frac{-1-13}{2} = -7$ と $\lambda_2 = \frac{-1+13}{2} = 6$ です。$\lambda_1 < \lambda_2$ の条件を満たしています。

次に、固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = -7$ に対応する固有ベクトル $x_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix}$ を求めます。

$(A - \lambda_1 I)x_1 = 0$ より、

$\begin{pmatrix} -6 - (-7) & 4 \\ 3 & 5 - (-7) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ x_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$1 + 4x_{21} = 0$ より、$x_{21} = -\frac{1}{4}$

$\lambda_2 = 6$ に対応する固有ベクトル $x_2 = \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix}$ を求めます。

$(A - \lambda_2 I)x_2 = 0$ より、

$\begin{pmatrix} -6 - 6 & 4 \\ 3 & 5 - 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -12 & 4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{12} \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-12x_{12} + 4 = 0$ より、$x_{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\lambda_1 = -7$

$\lambda_2 = 6$

$x_{21} = -\frac{1}{4}$

$x_{12} = \frac{1}{3}$