与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 4 & -9 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解く。 (1) 固有値 $\lambda_1, \lambda_2 (\lambda_1 < \lambda_2)$ を求める。 (2) 各固有値に対応する固有ベクトル $\vec{p_1}, \vec{p_2}$ を求め、$P = (\vec{p_1} \ \vec{p_2})$ とする。ただし、$P$ の対角成分は1とする。 (3) $P^{-1}AP = D$ となる行列 $D$ を求める。 (4) $A^n (n \in \mathbb{N})$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 4 & -9 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解く。

(1) 固有値 $\lambda_1, \lambda_2 (\lambda_1 < \lambda_2)$ を求める。

(2) 各固有値に対応する固有ベクトル $\vec{p_1}, \vec{p_2}$ を求め、$P = (\vec{p_1} \ \vec{p_2})$ とする。ただし、$P$ の対角成分は1とする。

(3) $P^{-1}AP = D$ となる行列 $D$ を求める。

(4) $A^n (n \in \mathbb{N})$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 固有値を求める。

特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -3 - \lambda & -2 \\ 4 & -9 - \lambda \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (-3 - \lambda)(-9 - \lambda) - (-2)(4) = \lambda^2 + 12\lambda + 27 + 8 = \lambda^2 + 12\lambda + 35 = (\lambda + 5)(\lambda + 7) = 0$

固有値は $\lambda_1 = -7$, $\lambda_2 = -5$ (ただし、$\lambda_1 < \lambda_2$ とする).

(2) 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = -7$ のとき、$(A - \lambda_1 I)\vec{p_1} = \vec{0}$

$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x - 2y = 0 \Rightarrow y = 2x$. 対角成分が1となるように $x = 1/2$ とすると、$y = 1$。よって $\vec{p_1} = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda_2 = -5$ のとき、$(A - \lambda_2 I)\vec{p_2} = \vec{0}$

$\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - 2y = 0 \Rightarrow x = y$. 対角成分が1となるように $y = 1$ とすると、$x = 1$。よって $\vec{p_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$P = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

次に $P^{-1}$ を求める。

$P^{-1} = \frac{1}{(1/2)(1) - (1)(1)} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1/2 \end{pmatrix} = \frac{1}{-1/2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(3) $D = P^{-1}AP$ を求める。

$D = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 4 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & -14 \\ -10 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$

(4) $A^n = PD^nP^{-1}$ を求める。

$D^n = \begin{pmatrix} (-7)^n & 0 \\ 0 & (-5)^n \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-7)^n & 0 \\ 0 & (-5)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(-7)^n & (-5)^n \\ (-7)^n & (-5)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(-7)^n + 2(-5)^n & (-7)^n - (-5)^n \\ -2(-7)^n + 2(-5)^n & 2(-7)^n - (-5)^n \end{pmatrix}$

よって

$a_{11} = -1$

$b_{11} = 2$

$a_{12} = 1$

$b_{12} = -1$

$a_{21} = -2$

$b_{21} = 2$

$a_{22} = 2$

$b_{22} = -1$

3. 最終的な答え

$\lambda_1 = -7$

$\lambda_2 = -5$

$P = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$P^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$D = \begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$

$D^{-1}$ （問題文にないので計算しません。）

$a_{11} = -1$

$b_{11} = 2$

$a_{12} = 1$

$b_{12} = -1$

$a_{21} = -2$

$b_{21} = 2$

$a_{22} = 2$

$b_{22} = -1$