与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 4 & -9 \end{pmatrix}$ に対して、以下のものを求める問題です。 * 行列 $A$ の固有値 $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($ \lambda_1 < \lambda_2 $) * 対応する固有ベクトル $p_1$, $p_2$ からなる行列 $P = (p_1 \ p_2)$ （ただし、$P$ の対角成分は1とする） * $P$ の逆行列 $P^{-1}$ * $D = P^{-1}AP$ で与えられる対角行列 $D$ * $D$ の逆行列 $D^{-1}$ * $A^n$ の成分 $a_{11}$, $b_{11}$, $a_{12}$, $b_{12}$, $a_{21}$, $b_{21}$, $a_{22}$, $b_{22}$（ただし、$ A^n = \begin{pmatrix} a_{11}\lambda_1^n + b_{11}\lambda_2^n & a_{12}\lambda_1^n + b_{12}\lambda_2^n \\ a_{21}\lambda_1^n + b_{21}\lambda_2^n & a_{22}\lambda_1^n + b_{22}\lambda_2^n \end{pmatrix} $)

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 4 & -9 \end{pmatrix}$ に対して、以下のものを求める問題です。

* 行列 $A$ の固有値 $\lambda_1$, $\lambda_2$ ($\lambda_1 < \lambda_2$)

* 対応する固有ベクトル $p_1$, $p_2$ からなる行列 $P = (p_1 \ p_2)$ （ただし、$P$ の対角成分は1とする）

* $P$ の逆行列 $P^{-1}$

* $D = P^{-1}AP$ で与えられる対角行列 $D$

* $D$ の逆行列 $D^{-1}$

* $A^n$ の成分 $a_{11}$, $b_{11}$, $a_{12}$, $b_{12}$, $a_{21}$, $b_{21}$, $a_{22}$, $b_{22}$（ただし、$A^n = \begin{pmatrix} a_{11}\lambda_1^n + b_{11}\lambda_2^n & a_{12}\lambda_1^n + b_{12}\lambda_2^n \\ a_{21}\lambda_1^n + b_{21}\lambda_2^n & a_{22}\lambda_1^n + b_{22}\lambda_2^n \end{pmatrix}$)

2. 解き方の手順

* **固有値の計算:**

まず、行列 $A$ の固有方程式を解きます。

$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -3 - \lambda & -2 \\ 4 & -9 - \lambda \end{pmatrix} = (-3-\lambda)(-9-\lambda) - (-2)(4) = \lambda^2 + 12\lambda + 27 + 8 = \lambda^2 + 12\lambda + 35 = (\lambda + 5)(\lambda + 7) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -7$ と $\lambda_2 = -5$ です。

* **固有ベクトルの計算:**

固有値 $\lambda_1 = -7$ に対応する固有ベクトル $p_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$(A - \lambda_1 I)p_1 = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x - 2y = 0$ より、$y = 2x$ です。$P$の対角成分は１なので、$x=1$とすると、$y=2$。

よって、$p_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ です。

固有値 $\lambda_2 = -5$ に対応する固有ベクトル $p_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$(A - \lambda_2 I)p_2 = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - 2y = 0$ より、$y = x$ です。$P$の対角成分は１なので、$x=1$とすると、$y=1$。

よって、$p_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。

したがって、$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ です。

* **$P^{-1}$ の計算:**

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の逆行列を求めます。

$\det(P) = (1)(1) - (1)(2) = -1$

$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

* **$D$ の計算:**

$D = P^{-1}AP = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ 4 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -7 \\ -10 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$

* **$D^{-1}$ の計算:**

$D = \begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$ の逆行列は、

$D^{-1} = \begin{pmatrix} -1/7 & 0 \\ 0 & -1/5 \end{pmatrix}$

* **$A^n$ の計算:**

$A^n = PD^nP^{-1}$ より、$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-7)^n & 0 \\ 0 & (-5)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-7)^n & (-5)^n \\ 2(-7)^n & (-5)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -(-7)^n + 2(-5)^n & (-7)^n - (-5)^n \\ -2(-7)^n + 2(-5)^n & 2(-7)^n - (-5)^n \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} (-1)(-7)^n + 2(-5)^n & (1)(-7)^n + (-1)(-5)^n \\ (-2)(-7)^n + (2)(-5)^n & (2)(-7)^n + (-1)(-5)^n \end{pmatrix}$

したがって、$a_{11} = -1$, $b_{11} = 2$, $a_{12} = 1$, $b_{12} = -1$, $a_{21} = -2$, $b_{21} = 2$, $a_{22} = 2$, $b_{22} = -1$ です。

3. 最終的な答え

* $\lambda_1 = -7$, $\lambda_2 = -5$

* $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

* $P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

* $D = \begin{pmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}$

* $D^{-1} = \begin{pmatrix} -1/7 & 0 \\ 0 & -1/5 \end{pmatrix}$

* $a_{11} = -1$, $b_{11} = 2$, $a_{12} = 1$, $b_{12} = -1$, $a_{21} = -2$, $b_{21} = 2$, $a_{22} = 2$, $b_{22} = -1$