$x = 1, -1$ が4次方程式 $x^4 + 4x^3 - 2x^2 + ax + b = 0$ の解であるとき、実数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

$x = 1, -1$ が4次方程式 $x^4 + 4x^3 - 2x^2 + ax + b = 0$ の解であるとき、実数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = 1$ と $x = -1$ が解であるから、それぞれ方程式に代入すると以下の式が成り立つ。

$1^4 + 4(1)^3 - 2(1)^2 + a(1) + b = 0$

$(-1)^4 + 4(-1)^3 - 2(-1)^2 + a(-1) + b = 0$

これらを整理すると

$1 + 4 - 2 + a + b = 0$

$1 - 4 - 2 - a + b = 0$

つまり

$a + b = -3$

$-a + b = 5$

この連立方程式を解く。

2つの式を足し合わせると $2b = 2$ より $b = 1$ となる。

$b = 1$ を $a + b = -3$ に代入すると $a + 1 = -3$ より $a = -4$ となる。

したがって、$a = -4, b = 1$ である。

方程式は $x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1 = 0$ となる。

$x = 1, -1$ が解であるから、$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$ で割り切れる。

実際に割ると

$x^4 + 4x^3 - 2x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 4x - 1)$

したがって、$x^2 + 4x - 1 = 0$ の解を求めればよい。

解の公式より

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$

したがって、残りの解は $x = -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$a = -4, b = 1$

他の解は $x = -2 + \sqrt{5}, -2 - \sqrt{5}$