2次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}$, $\frac{2}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、元の2次方程式 $2x^2 + 8x + 1 = 0$ から、解と係数の関係を用いて $\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ を求めます。解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{8}{2} = -4$$

$$\alpha \beta = \frac{1}{2}$$

次に、求める2次方程式の解 $\frac{2}{\alpha}$ と $\frac{2}{\beta}$ の和と積を計算します。

$$\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = 2\left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = 2\left(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}\right) = 2\left(\frac{-4}{\frac{1}{2}}\right) = 2(-8) = -16$$

$$\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha \beta} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$$

求める2次方程式は、$x^2$ の係数が1なので、解と係数の関係から、

$$x^2 - (\text{2つの解の和})x + (\text{2つの解の積}) = 0$$

したがって、

$$x^2 - (-16)x + 8 = 0$$

$$x^2 + 16x + 8 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 + 16x + 8 = 0$