問題92は、立方体の縦と横を4cm伸ばし、高さを2cm縮めて直方体を作ったところ、体積が元の立方体の2倍になった。元の立方体の1辺の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

問題92は、立方体の縦と横を4cm伸ばし、高さを2cm縮めて直方体を作ったところ、体積が元の立方体の2倍になった。元の立方体の1辺の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

元の立方体の1辺の長さを$x$ (cm)とします。

* 元の立方体の体積は$x^3$ (cm$^3$)。

* 縦と横を4cm伸ばし、高さを2cm縮めた直方体の寸法は、縦$(x+4)$cm、横$(x+4)$cm、高さ$(x-2)$cm。

* 直方体の体積は$(x+4)(x+4)(x-2)$ (cm$^3$)。

* 直方体の体積が元の立方体の体積の2倍なので、次の式が成り立ちます。

$$(x+4)(x+4)(x-2) = 2x^3$$

これを展開して整理します。

$$(x^2 + 8x + 16)(x-2) = 2x^3$$

$$x^3 + 8x^2 + 16x - 2x^2 - 16x - 32 = 2x^3$$

$$x^3 + 6x^2 - 32 = 2x^3$$

$$0 = x^3 - 6x^2 + 32$$

$x^3 - 6x^2 + 32 = 0$を解きます。

$x=-2$を代入すると$(-2)^3 - 6(-2)^2 + 32 = -8 - 24 + 32 = 0$となるので、$x=-2$は解の一つです。

$x=4$を代入すると$(4)^3 - 6(4)^2 + 32 = 64 - 96 + 32 = 0$となるので、$x=4$も解の一つです。

$x^3 - 6x^2 + 32$を$(x+2)(x-4)$で割ると$x-4$が残るので、$(x+2)(x-4)(x-4) = 0$。

よって、$x=-2, 4, 4$が解です。

立方体の1辺の長さは正の値なので、$x = 4$cm。

3. 最終的な答え

元の立方体の1辺の長さは4cmです。