多項式 $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$ が与えられている。 (1) $P(x)$ を与えられた式で割ったとき、割り切れるものを選ぶ。 (2) $P(x)$ を因数分解し、空欄を埋める。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$ が与えられている。

(1) $P(x)$ を与えられた式で割ったとき、割り切れるものを選ぶ。

(2) $P(x)$ を因数分解し、空欄を埋める。

2. 解き方の手順

(1) 因数定理を利用して、与えられた式が $P(x)$ の因数であるかを確かめる。

- $x - \frac{1}{2}$ の場合、$P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^3 - 7(\frac{1}{2})^2 + 10(\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{7}{4} + 5 - 6 = -\frac{6}{4} - 1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2} \neq 0$

- $x - 2$ の場合、$P(2) = 2(2)^3 - 7(2)^2 + 10(2) - 6 = 16 - 28 + 20 - 6 = 36 - 34 = 2 \neq 0$

- $x - \frac{3}{2}$ の場合、$P(\frac{3}{2}) = 2(\frac{3}{2})^3 - 7(\frac{3}{2})^2 + 10(\frac{3}{2}) - 6 = 2(\frac{27}{8}) - 7(\frac{9}{4}) + 15 - 6 = \frac{27}{4} - \frac{63}{4} + 9 = -\frac{36}{4} + 9 = -9 + 9 = 0$

- $x + 6$ の場合、$P(-6) = 2(-6)^3 - 7(-6)^2 + 10(-6) - 6 = 2(-216) - 7(36) - 60 - 6 = -432 - 252 - 60 - 6 = -750 \neq 0$

したがって、$x - \frac{3}{2}$ が $P(x)$ を割り切る。

(2) $P(x)$ を因数分解する。$x - \frac{3}{2}$ が因数であることから、$2x - 3$ も因数である。そこで、$P(x)$ を $2x - 3$ で割る。

$2x^3 - 7x^2 + 10x - 6 = (2x - 3)(x^2 - 2x + 2)$

3. 最終的な答え

(1) $x - \frac{3}{2}$

(2) $P(x) = (2x - 3)(x^2 - 2x + 2)$