全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられている。 (1) 3の倍数の集合 $A$ を求めよ。 (2) 12の約数の集合 $B$ を求めよ。ただし、 $B$ は $U$ の部分集合とする。 (3) $A$ の補集合 $\overline{A}$ を求めよ。 (4) $B$ の補集合 $\overline{B}$ を求めよ。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ が与えられている。

(1) 3の倍数の集合 $A$ を求めよ。

(2) 12の約数の集合 $B$ を求めよ。ただし、 $B$ は $U$ の部分集合とする。

(3) $A$ の補集合 $\overline{A}$ を求めよ。

(4) $B$ の補集合 $\overline{B}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数の集合 $A$ は、 $U$ の要素の中で3で割り切れるものを集めたものである。したがって、 $A = \{3, 6, 9\}$。

(2) 12の約数の集合 $B$ は、12を割り切る数の中で、$U$ に含まれるものを集めたものである。12の約数は1, 2, 3, 4, 6, 12である。$U$ に含まれるのは1, 2, 3, 4, 6なので、$B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$。

(3) $A$ の補集合 $\overline{A}$ は、$U$ の要素のうち、$A$ に含まれないものを集めたものである。$A = \{3, 6, 9\}$ なので、$\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$。

(4) $B$ の補集合 $\overline{B}$ は、$U$ の要素のうち、$B$ に含まれないものを集めたものである。$B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ なので、$\overline{B} = \{5, 7, 8, 9, 10\}$。

3. 最終的な答え

(1) $A = \{3, 6, 9\}$

(2) $B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$

(3) $\overline{A} = \{1, 2, 4, 5, 7, 8, 10\}$

(4) $\overline{B} = \{5, 7, 8, 9, 10\}$