アッカーマン関数 $A(m, n)$ について、$A(2, 1) = 5$ となることを、途中式を書いて示す問題です。ただし、$A(2, 0) = 3$ と $A(1, 1) = 3$ であることは使ってよいものとします。アッカーマン関数の定義は、以下の通りです。 $ A(m, n) = \begin{cases} n+1 & \text{if } m = 0 \\ A(m-1, 1) & \text{if } m > 0 \text{ and } n = 0 \\ A(m-1, A(m, n-1)) & \text{if } m > 0 \text{ and } n > 0 \end{cases} $

1. 問題の内容

アッカーマン関数 $A(m, n)$ について、$A(2, 1) = 5$ となることを、途中式を書いて示す問題です。ただし、$A(2, 0) = 3$ と $A(1, 1) = 3$ であることは使ってよいものとします。アッカーマン関数の定義は、以下の通りです。

$ A(m, n) =

\begin{cases}

n+1 & \text{if } m = 0 \\

A(m-1, 1) & \text{if } m > 0 \text{ and } n = 0 \\

A(m-1, A(m, n-1)) & \text{if } m > 0 \text{ and } n > 0

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、$A(2, 1)$ を計算します。アッカーマン関数の定義に従い、 $m > 0$ かつ $n > 0$ の場合であるため、以下の式を使用します。

$A(m, n) = A(m-1, A(m, n-1))$

したがって、

$A(2, 1) = A(1, A(2, 0))$

問題文より、$A(2, 0) = 3$ であるので、

$A(2, 1) = A(1, 3)$

次に、$A(1, 3)$ を計算します。$m > 0$ かつ $n > 0$ であるため、再度定義に従い、

$A(1, 3) = A(0, A(1, 2))$

$A(1, 2)$を計算します。

$A(1, 2) = A(0, A(1, 1))$

問題文より、$A(1, 1) = 3$ であるので、

$A(1, 2) = A(0, 3)$

$A(0, 3)$ を計算します。$m = 0$ なので、$A(m, n) = n + 1$ の定義を使用します。

$A(0, 3) = 3 + 1 = 4$

したがって、

$A(1, 2) = 4$

$A(1, 3) = A(0, A(1, 2)) = A(0, 4)$

$A(0, 4)$ を計算します。$m = 0$ なので、$A(m, n) = n + 1$ の定義を使用します。

$A(0, 4) = 4 + 1 = 5$

したがって、$A(1, 3) = 5$

最後に、$A(2, 1) = A(1, 3) = 5$ であることが示されました。

3. 最終的な答え

$A(2, 1) = 5$