(1) $\theta$ の動径が第3象限にあり、$\sin \theta = -\frac{12}{13}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 (2) $\theta$ の動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -2\sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\theta$ の動径が第3象限にあり、$\sin \theta = -\frac{12}{13}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

(2) $\theta$ の動径が第4象限にあり、$\tan \theta = -2\sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて、$\cos \theta$ を求める。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169-144}{169} = \frac{25}{169}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} = \pm \frac{5}{13}$

$\theta$ は第3象限にあるので、$\cos \theta < 0$ 。したがって、$\cos \theta = -\frac{5}{13}$。

次に、$\tan \theta$ を求める。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$

(2)

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ である。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を用いて、$\cos \theta$ を求める。

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = (-2\sqrt{2})^2 + 1 = 8 + 1 = 9$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3}$

$\theta$ は第4象限にあるので、$\cos \theta > 0$。したがって、$\cos \theta = \frac{1}{3}$。

次に、$\sin \theta$ を求める。

$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = (-2\sqrt{2}) \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos \theta = -\frac{5}{13}$, $\tan \theta = \frac{12}{5}$

(2) $\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\cos \theta = \frac{1}{3}$