全体集合$U$を実数全体とし、その部分集合$A = \{x | 3 \le x \le 7\}$、$B = \{x | 5 < x < 10\}$が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合$U$を実数全体とし、その部分集合$A = \{x | 3 \le x \le 7\}$、$B = \{x | 5 < x < 10\}$が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合である。

$3 \le x \le 7$ かつ $5 < x < 10$ を満たす$x$の範囲を求める。

数直線で考えると、$5 < x \le 7$となる。

(2) $A \cup B$ は、$A$または$B$に含まれる要素の集合である。

$3 \le x \le 7$ または $5 < x < 10$ を満たす$x$の範囲を求める。

数直線で考えると、$3 \le x < 10$となる。

(3) $\overline{A}$ は、$A$に含まれない要素の集合であり、$x < 3$ または $x > 7$である。

$\overline{B}$ は、$B$に含まれない要素の集合であり、$x \le 5$ または $x \ge 10$である。

$\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$または$\overline{B}$に含まれる要素の集合である。

$x < 3$ または $x > 7$ または $x \le 5$ または $x \ge 10$を満たす$x$の範囲を求める。

数直線で考えると、$x \le 5$ または $x \ge 7$となる。

あるいは、ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$。

(1)より$A \cap B = \{x | 5 < x \le 7\}$なので、$\overline{A \cap B} = \{x | x \le 5 \text{ or } x > 7\}$。

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$\overline{A}$と$\overline{B}$の両方に含まれる要素の集合である。

$x < 3$ または $x > 7$ かつ $x \le 5$ または $x \ge 10$を満たす$x$の範囲を求める。

数直線で考えると、$x < 3$ または $x \ge 10$となる。

あるいは、ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$。

(2)より$A \cup B = \{x | 3 \le x < 10\}$なので、$\overline{A \cup B} = \{x | x < 3 \text{ or } x \ge 10\}$。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | 5 < x \le 7\}$

(2) $A \cup B = \{x | 3 \le x < 10\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{x | x \le 5 \text{ or } x > 7\}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | x < 3 \text{ or } x \ge 10\}$