以下の4つの命題の真偽を判定します。 (1) 任意の自然数 $x$ に対して、ある自然数 $y$ が存在し、$y > x$ が成り立つ。 (2) ある自然数 $x$ が存在し、任意の自然数 $y$ に対して、$x > y$ が成り立つ。 (3) 任意の実数 $x$ に対して、ある実数 $y$ が存在し、$y^2 = x$ が成り立つ。 (4) ある実数 $x$ が存在し、任意の実数 $y$ に対して、ある実数 $z$ が存在し、$x + y = z$ が成り立つ。

その他命題真偽判定論理自然数実数

2025/6/24

1. 問題の内容

以下の4つの命題の真偽を判定します。

(1) 任意の自然数

x

に対して、ある自然数

y

が存在し、

y > x

が成り立つ。

(2) ある自然数

x

が存在し、任意の自然数

y

に対して、

x > y

が成り立つ。

(3) 任意の実数

x

に対して、ある実数

y

が存在し、

y^2 = x

が成り立つ。

(4) ある実数

x

が存在し、任意の実数

y

に対して、ある実数

z

が存在し、

x + y = z

が成り立つ。

2. 解き方の手順

(1) について

任意の自然数

x

に対して、

y = x + 1

とすれば、

y

は自然数であり、

y > x

が成り立つ。したがって、この命題は真です。

(2) について

自然数

x

が存在して、任意の自然数

y

に対して、

x > y

が成り立つと仮定する。しかし、自然数には上限がないため、そのような

x

は存在しません。例えば、

y = x + 1

とすれば、

x > y

は成り立ちません。したがって、この命題は偽です。

(3) について

任意の実数

x

に対して、

y^2 = x

となる実数

y

が存在するかどうかを考える。もし

x

が負の実数である場合、

y^2 = x

を満たす実数

y

は存在しません。したがって、この命題は偽です。

(4) について

ある実数

x

を固定し、任意の実数

y

に対して、

x + y = z

となる実数

z

が存在するかどうかを考える。

z = x + y

とすれば、

z

は実数であり、

x + y = z

が成り立つ。したがって、この命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 偽

(4) 真

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