与えられた4つの文章を、全称記号（$\forall$）や存在記号（$\exists$）を用いて数式で表現する。

1. 問題の内容

与えられた4つの文章を、全称記号（$\forall$）や存在記号（$\exists$）を用いて数式で表現する。

2. 解き方の手順

(1) 任意の自然数 $x$ に対して、$x+1$ は自然数である。

- 自然数全体の集合を $\mathbb{N}$ とする。

- 任意の $x \in \mathbb{N}$ に対して、$x+1 \in \mathbb{N}$ であることを示す。

- したがって、数式表現は $\forall x \in \mathbb{N}, x+1 \in \mathbb{N}$ となる。

(2) ある実数 $x$ が存在して、$x^2 = 2$ である。

- 実数全体の集合を $\mathbb{R}$ とする。

- $x \in \mathbb{R}$ であり、$x^2 = 2$ となる $x$ が存在することを示す。

- したがって、数式表現は $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 2$ となる。

(3) 任意の実数 $x$ に対して、ある実数 $y$ が存在して、$x+y = 0$ である。

- 任意の実数 $x$ に対して、$x+y=0$ となる実数 $y$ が存在することを示す。

- したがって、数式表現は $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x+y = 0$ となる。

(4) ある整数 $x$ が存在して、任意の整数 $y$ に対して、$x \cdot y = x$ である。

- 整数全体の集合を $\mathbb{Z}$ とする。

- $x \in \mathbb{Z}$ であり、任意の $y \in \mathbb{Z}$ に対して、$x \cdot y = x$ が成り立つ $x$ が存在することを示す。

- したがって、数式表現は $\exists x \in \mathbb{Z}, \forall y \in \mathbb{Z}, x \cdot y = x$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\forall x \in \mathbb{N}, x+1 \in \mathbb{N}$

(2) $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 2$

(3) $\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x+y = 0$

(4) $\exists x \in \mathbb{Z}, \forall y \in \mathbb{Z}, x \cdot y = x$