(1) 関数 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と x軸で囲まれた部分の面積を求める。 (2) 関数 $y = \sqrt{x}$ ($x \ge 0$), $y = 1$と y軸で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \sin x$ ($0 \le x \le \pi$) と x軸で囲まれた部分の面積を求める。

(2) 関数 $y = \sqrt{x}$ ($x \ge 0$), $y = 1$と y軸で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 求める面積は定積分で計算できる。

$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$

$\sin x$ の原始関数は $-\cos x$ であるから、

$S = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

(2) $y = \sqrt{x}$ より $x = y^2$ である。

求める面積は、y軸、曲線 $x = y^2$, $y = 1$ で囲まれた部分の面積である。

したがって、

$S = \int_{0}^{1} y^2 \, dy = [\frac{1}{3}y^3]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(1^3 - 0^3) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $S = 2$

(2) $S = \frac{1}{3}$