$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ の範囲で、$y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ の範囲で、$y = \sin x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin x$ と $y = \cos x$ の交点を求めます。$\sin x = \cos x$ を満たす $x$ は、$x = \frac{\pi}{4} + n\pi$ ($n$ は整数) です。与えられた範囲 $\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{5\pi}{4}$ における交点は、$x = \frac{\pi}{4}$ と $x = \frac{5\pi}{4}$ です。

次に、$\frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$ の範囲で $\sin x$ と $\cos x$ の大小関係を調べます。

$\frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4}$ において、$\sin x \ge \cos x$ です。したがって、面積 $S$ は次の積分で計算できます。

$S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} (\sin x - \cos x) \, dx$

積分を実行します。

$S = [-\cos x - \sin x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$

$S = \left(-\cos\frac{5\pi}{4} - \sin\frac{5\pi}{4}\right) - \left(-\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{4}\right)$

$\cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$S = \left(-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$S = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\sqrt{2}\right)$

$S = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$S = 2\sqrt{2}$

ア=2, イ=2