グラフが$x$軸と点$(-1, 0)$, $(3, 0)$で交わり、頂点の$y$座標が$-8$となる2次関数を求めよ。

1. 問題の内容

グラフが$x$軸と点$(-1, 0)$, $(3, 0)$で交わり、頂点の$y$座標が$-8$となる2次関数を求めよ。

2. 解き方の手順

$x$軸と$(-1, 0)$, $(3, 0)$で交わることから、求める2次関数は、ある定数$a$を用いて

$y = a(x+1)(x-3)$

と表せる。展開すると、

$y = a(x^2 - 2x - 3)$

$y = ax^2 - 2ax - 3a$

この関数の頂点の$x$座標は、$x = -\frac{-2a}{2a} = 1$となる。

頂点の$y$座標は$-8$であるから、$x = 1$を代入すると$y = -8$となる。

$-8 = a(1+1)(1-3) = a(2)(-2) = -4a$

$-8 = -4a$より、$a = 2$

よって求める2次関数は、

$y = 2(x+1)(x-3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 4x - 6$