楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の面積 $S$ を、$x = a\cos t$, $y = b\sin t$ を用いて、$a, b$ で表す。

1. 問題の内容

楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ の面積 $S$ を、$x = a\cos t$, $y = b\sin t$ を用いて、$a, b$ で表す。

2. 解き方の手順

楕円の面積は、パラメータ表示された $x = a\cos t, y = b\sin t$ ($0 \le t \le 2\pi$) を用いて、積分で求めることができる。

まず、$x = a\cos t$ より、$dx = -a\sin t dt$ である。

したがって、楕円の面積 $S$ は、以下の積分で表される。

$S = 4 \int_0^a y dx = 4 \int_{\pi/2}^0 b\sin t (-a\sin t) dt = 4ab \int_0^{\pi/2} \sin^2 t dt$

ここで、$\sin^2 t = \frac{1 - \cos 2t}{2}$ を用いると、

$\int_0^{\pi/2} \sin^2 t dt = \int_0^{\pi/2} \frac{1 - \cos 2t}{2} dt = \left[ \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4}$

したがって、

$S = 4ab \times \frac{\pi}{4} = \pi ab$

3. 最終的な答え

$\pi a b$