一辺の長さが4の立方体に内接する正四面体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが4の立方体に内接する正四面体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

立方体の体積から、正四面体の周りの4つの合同な三角錐の体積を引くことで、正四面体の体積を求めます。

まず、立方体の体積を求めます。一辺の長さが4なので、立方体の体積は $4^3 = 64$ です。

次に、4つの合同な三角錐の体積を求めます。各三角錐は底面が直角二等辺三角形で、高さが4です。底面の直角を挟む2辺の長さはどちらも4なので、底面積は $(1/2) \times 4 \times 4 = 8$ です。したがって、各三角錐の体積は $(1/3) \times 8 \times 4 = 32/3$ です。

4つの三角錐の体積の合計は、$4 \times (32/3) = 128/3$ です。

最後に、正四面体の体積は、立方体の体積から4つの三角錐の体積の合計を引いたものです。つまり、$64 - (128/3) = (192 - 128)/3 = 64/3$ です。

3. 最終的な答え

正四面体の体積は $\frac{64}{3}$ です。