問題は、三角形ABCに関する以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $\angle BAC = 74^\circ$、$\angle ACB = 50^\circ$のとき、$\angle BDE$の大きさを求める。 (2) $AB = 8$ cm、$BC = 10$ cmで、三角形ABCの面積が$33$ cm$^2$のとき、線分$DE$の長さを求める。 ただし、$D$は$\angle ABC$の二等分線と辺$AC$の交点であり、$E$と$F$はそれぞれ点$D$から辺$AB$と$BC$へ下ろした垂線の足です。

1. 問題の内容

問題は、三角形ABCに関する以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $\angle BAC = 74^\circ$、$\angle ACB = 50^\circ$のとき、$\angle BDE$の大きさを求める。

(2) $AB = 8$ cm、$BC = 10$ cmで、三角形ABCの面積が$33$ cm$^2$のとき、線分$DE$の長さを求める。

ただし、$D$は$\angle ABC$の二等分線と辺$AC$の交点であり、$E$と$F$はそれぞれ点$D$から辺$AB$と$BC$へ下ろした垂線の足です。

2. 解き方の手順

(1) $\angle BDE$の大きさについて

まず、三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ABC$を求めます。

$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 74^\circ - 50^\circ = 56^\circ$

次に、$BD$は$\angle ABC$の二等分線なので、$\angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 56^\circ = 28^\circ$

三角形$BDE$において、$\angle BED = 90^\circ$なので、

$\angle BDE = 180^\circ - \angle BED - \angle DBE = 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$

(2) 線分$DE$の長さについて

点$D$は$\angle ABC$の二等分線上にあるので、$DE = DF$が成り立ちます。

三角形$ABC$の面積は、三角形$ABD$の面積と三角形$BCD$の面積の和で表されます。

$\triangle ABC = \triangle ABD + \triangle BCD$

$\frac{1}{2} \times AB \times DE + \frac{1}{2} \times BC \times DF = 33$

$\frac{1}{2} \times 8 \times DE + \frac{1}{2} \times 10 \times DE = 33$

$4DE + 5DE = 33$

$9DE = 33$

$DE = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle BDE = 62^\circ$

(2) $DE = \frac{11}{3}$ cm