円の中心Oから点Pを通る直線が円と2点で交わっています。点Pから円に引いた接線の接点をTとします。線分OPの長さが8、線分PTの長さが4であるとき、線分OPと反対側の、点Pから円との交点までの線分の長さxを求めなさい。

1. 問題の内容

円の中心Oから点Pを通る直線が円と2点で交わっています。点Pから円に引いた接線の接点をTとします。線分OPの長さが8、線分PTの長さが4であるとき、線分OPと反対側の、点Pから円との交点までの線分の長さxを求めなさい。

2. 解き方の手順

円の接線に関する定理を使います。点Pから円に引いた接線PTの長さの2乗は、点Pから円との交点までの線分の長さの積に等しい、という定理があります。この問題の場合、$PT^2 = (PO - x)(PO + 8)$となります。

与えられた値を代入すると、

$4^2 = (8-x)(8+x)$

$16 = 64 - x^2$

$x^2 = 64 - 16$

$x^2 = 48$

$x = \sqrt{48}$

$x = \sqrt{16 \times 3}$

$x = 4\sqrt{3}$

線分の長さなので、$x>0$である。

3. 最終的な答え

$x = 4\sqrt{3}$