円の中心Oから線分が伸びており、円との交点を結んだ線分の長さをxとする。また、円外の点Pから円に接線を引いており、接点をTとする。線分OPの長さは8、線分PTの長さは4である。このとき、xの値を求める。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

円の中心Oから線分が伸びており、円との交点を結んだ線分の長さをxとする。また、円外の点Pから円に接線を引いており、接点をTとする。線分OPの長さは8、線分PTの長さは4である。このとき、xの値を求める。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用する。点Pから円に対して引かれた線分について、以下の関係が成り立つ。

$PT^2 = (PO - r)(PO + r)$

ここで、PT = 4, PO = 8であり、rは円の半径である。円の半径rは、OPから円の中心Oを通って反対側の円周まで延びる線分からOPの長さを引いたものに等しい。つまり、r = x + 8となる。

これを代入して、

$4^2 = (8 - (x + 8))(8 + (x + 8))$

$16 = (-x)(16 + x)$

$16 = -16x - x^2$

$x^2 + 16x + 16 = 0$

この二次方程式を解く。解の公式を用いると、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 64}}{2}$

$x = \frac{-16 \pm \sqrt{192}}{2}$

$x = \frac{-16 \pm 8\sqrt{3}}{2}$

$x = -8 \pm 4\sqrt{3}$

xは長さを表すので正の値を取る必要がある。

$x = -8 + 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x = -8 + 4\sqrt{3}$