原点を中心とする半径1の円を円①、点A(3, 3)を中心とする半径$\sqrt{2}$の円を円②とします。点Pから円①、円②に引いた接線の接点をそれぞれQ, Rとするとき、以下の条件を満たす点Pの軌跡を求めます。 (1) PQ:PR = 1:2 (2) PQ:PR = 1:1

1. 問題の内容

原点を中心とする半径1の円を円①、点A(3, 3)を中心とする半径$\sqrt{2}$の円を円②とします。点Pから円①、円②に引いた接線の接点をそれぞれQ, Rとするとき、以下の条件を満たす点Pの軌跡を求めます。

(1) PQ:PR = 1:2

(2) PQ:PR = 1:1

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とします。円①の中心をO、円②の中心をAとします。

(1) PQ:PR = 1:2の場合

PQは、点Pから円①に引いた接線の長さなので、三平方の定理より

$PQ^2 = OP^2 - 1^2 = x^2 + y^2 - 1$

$PQ = \sqrt{x^2 + y^2 - 1}$

PRは、点Pから円②に引いた接線の長さなので、三平方の定理より

$PR^2 = AP^2 - (\sqrt{2})^2 = (x-3)^2 + (y-3)^2 - 2$

$PR = \sqrt{(x-3)^2 + (y-3)^2 - 2}$

PQ:PR = 1:2なので、

$\sqrt{x^2 + y^2 - 1} : \sqrt{(x-3)^2 + (y-3)^2 - 2} = 1:2$

$2\sqrt{x^2 + y^2 - 1} = \sqrt{(x-3)^2 + (y-3)^2 - 2}$

両辺を2乗して

$4(x^2 + y^2 - 1) = (x-3)^2 + (y-3)^2 - 2$

$4x^2 + 4y^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 - 2$

$3x^2 + 6x + 3y^2 + 6y = 20$

$x^2 + 2x + y^2 + 2y = \frac{20}{3}$

$(x+1)^2 + (y+1)^2 = \frac{20}{3} + 1 + 1 = \frac{26}{3}$

(2) PQ:PR = 1:1の場合

$\sqrt{x^2 + y^2 - 1} : \sqrt{(x-3)^2 + (y-3)^2 - 2} = 1:1$

$\sqrt{x^2 + y^2 - 1} = \sqrt{(x-3)^2 + (y-3)^2 - 2}$

両辺を2乗して

$x^2 + y^2 - 1 = (x-3)^2 + (y-3)^2 - 2$

$x^2 + y^2 - 1 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 - 2$

$6x + 6y = 17$

$y = -\frac{6}{6}x + \frac{17}{6}$

$y = -x + \frac{17}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $(x+1)^2 + (y+1)^2 = \frac{26}{3}$

(2) $y = -x + \frac{17}{6}$