3次方程式 $x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項が-4なので、その約数である±1, ±2, ±4 が候補となります。

$x = -2$ を代入してみると、

$(-2)^3 - 4(-2)^2 - 14(-2) - 4 = -8 - 16 + 28 - 4 = 0$

となるので、$x = -2$ は解の一つです。

したがって、$x+2$ は因数となります。

次に、与えられた3次式を $x+2$ で割ります。

筆算または組み立て除法を用いて、

$x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = (x+2)(x^2 - 6x - 2)$

となります。

したがって、$x^3 - 4x^2 - 14x - 4 = 0$ を解くことは、

$(x+2)(x^2 - 6x - 2) = 0$ を解くことと同じです。

$x+2 = 0$ より、$x = -2$

$x^2 - 6x - 2 = 0$ を解くために、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1$, $b = -6$, $c = -2$ なので、

$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$

3. 最終的な答え

$x = -2, 3 + \sqrt{11}, 3 - \sqrt{11}$