曲線や直線で囲まれた部分をy軸の周りに回転してできる回転体の体積Vを求める問題です。 (1) $y = \sqrt{2-x}$、x軸、y軸で囲まれた部分 (2) $y = x^2 (x \geq 0)$、 $x = 0$、$y = 2$ で囲まれた部分

1. 問題の内容

曲線や直線で囲まれた部分をy軸の周りに回転してできる回転体の体積Vを求める問題です。

(1) $y = \sqrt{2-x}$、x軸、y軸で囲まれた部分

(2) $y = x^2 (x \geq 0)$、 $x = 0$、$y = 2$ で囲まれた部分

2. 解き方の手順

(1)

$y = \sqrt{2-x}$ を $x$ について解きます。

$y^2 = 2 - x$

$x = 2 - y^2$

$x$軸と$y$軸で囲まれているので、$x$ の積分範囲は、$0$ から $2$ です。

$y$軸回転なので、体積$V$は、

$V = \pi \int_0^{\sqrt{2}} (2-y^2)^2 dy$

$= \pi \int_0^{\sqrt{2}} (4 - 4y^2 + y^4) dy$

$= \pi [4y - \frac{4}{3}y^3 + \frac{1}{5}y^5]_0^{\sqrt{2}}$

$= \pi [4\sqrt{2} - \frac{4}{3}(2\sqrt{2}) + \frac{1}{5}(4\sqrt{2})]$

$= \pi [4\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{5}]$

$= \pi [\frac{60\sqrt{2} - 40\sqrt{2} + 12\sqrt{2}}{15}]$

$= \pi [\frac{32\sqrt{2}}{15}]$

(2)

$y = x^2$ を $x$ について解くと、$x = \sqrt{y}$

$y$軸回転なので、体積$V$は、

$V = \pi \int_0^2 (\sqrt{y})^2 dy$

$= \pi \int_0^2 y dy$

$= \pi [\frac{1}{2}y^2]_0^2$

$= \pi [\frac{1}{2}(4)]$

$= 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{32\sqrt{2}}{15}\pi$

(2) $V = 2\pi$