次の2つの問題に答えます。 (1) 曲線 $y = \log x$、x軸、y軸、および直線 $y = 1$ で囲まれた部分をy軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めます。 (2) 曲線 $y = \sqrt[3]{x^2} (x \geq 0)$、x軸、および直線 $x = 1$ で囲まれた部分をy軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めます。

1. 問題の内容

次の2つの問題に答えます。

(1) 曲線 $y = \log x$、x軸、y軸、および直線 $y = 1$ で囲まれた部分をy軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めます。

(2) 曲線 $y = \sqrt[3]{x^2} (x \geq 0)$、x軸、および直線 $x = 1$ で囲まれた部分をy軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log x$ を $x$ について解くと、$x = e^y$ となります。$y$軸の周りに回転させるので、$x = e^y$ を $y$ について積分します。体積 $V$ は、

$V = \pi \int_{0}^{1} (e^y)^2 dy = \pi \int_{0}^{1} e^{2y} dy$

$V = \pi \left[ \frac{1}{2} e^{2y} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2} (e^2 - 1)$

(2) $y = \sqrt[3]{x^2}$ を $x$ について解くと、$x = y^{\frac{3}{2}}$ となります。体積 $V$ は、

$V = \pi \int_{0}^{1} (1^2 - (y^{\frac{3}{2}})^2) dy = \pi \int_{0}^{1} (1 - y^3) dy$

$V = \pi \left[ y - \frac{1}{4} y^4 \right]_0^1 = \pi \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{2} (e^2 - 1)$

(2) $\frac{3}{4} \pi$