$\alpha + \beta = 4$、$\alpha\beta = -5$ が成り立つとき、$2\alpha$ と $2\beta$ を解とする、$x^2$ の係数が 1 の 2 次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha + \beta = 4$、$\alpha\beta = -5$ が成り立つとき、$2\alpha$ と $2\beta$ を解とする、$x^2$ の係数が 1 の 2 次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの解が $2\alpha$ と $2\beta$ である 2 次方程式は、解と係数の関係から以下のようになる。

$$x^2 - (2\alpha + 2\beta)x + (2\alpha)(2\beta) = 0$$

ここで、$2\alpha + 2\beta$ と $(2\alpha)(2\beta)$ を求める。

まず、$2\alpha + 2\beta$ は、

$$2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2(4) = 8$$

次に、$2\alpha \cdot 2\beta$ は、

$$(2\alpha)(2\beta) = 4\alpha\beta = 4(-5) = -20$$

したがって、求める 2 次方程式は

$$x^2 - 8x - 20 = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 - 8x - 20 = 0$