複素数のべき乗の計算問題です。$(1 + \sqrt{3}i)^{10}$ を計算し、その結果を $a + b\sqrt{c}i$ の形で表し、$a, b, c$ を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数のべき乗の計算問題です。$(1 + \sqrt{3}i)^{10}$ を計算し、その結果を $a + b\sqrt{c}i$ の形で表し、$a, b, c$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z = 1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表します。

$z$ の絶対値 $|z|$ は、

$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$z$ の偏角 $\theta$ は、$\cos \theta = \frac{1}{2}, \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

したがって、$z = 1 + \sqrt{3}i$ は、極形式で $z = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})$ と表せます。

ド・モアブルの定理より、

$z^{10} = (1 + \sqrt{3}i)^{10} = [2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3})]^{10} = 2^{10} (\cos \frac{10\pi}{3} + i\sin \frac{10\pi}{3})$

$2^{10} = 1024$

$\frac{10\pi}{3} = 3\pi + \frac{\pi}{3}$ より、$\cos \frac{10\pi}{3} = \cos (3\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos (\pi + \frac{\pi}{3}) = -\cos \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2}$

$\sin \frac{10\pi}{3} = \sin (3\pi + \frac{\pi}{3}) = \sin (\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin \frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、

$z^{10} = 1024 (-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -512 - 512\sqrt{3}i$

したがって、$a = -512, b = -512, c = 3$ となります。

3. 最終的な答え

ア：-512

イ：-512

ウ：3